Straipsnių sąrašas

Naujojo Figaro pokštai

Fregė galvojo, kad savo „Pagrindiniuose aritmetikos dėsniuose“ jis įtvirtino savyje neprieštaringų logikos dėsnių matematinius principus. Kai veikalo antrasis tomas buvo rengiamas spaudai, jis gavo kuklų anglų mokslininko Bertrano Raselo laišką, kuriame šis pateikė savo antinomiją. „Aritmetika žūva,“ – su neviltim rašė savo atsakyme Fregė. „Pagrindinių artimetikos dėsnių“ antrojo tomo priedus Fregė pradėjo šiais žodžiais: „Mokslininkui negali būti didesnio nemalonumo, negu sužinoti apie visišką krachą tuo momentu, kai jo darbas jau užbaigtas.“ Kieno gi akiplėšiškiausi pasikėsinimai sudrebino šulus, ant kurių laikosi darnus matematikos pastatas? Pasirodo, katastrofos priežastim buvo iš pirmo žvilgsnio nekaltas kaimo barzdaskučio paradoksas.

Kaimo kirpykloje iškabintas keistas skelbimas: „Čia skutami tik tie ir vien tik tie, kurie patys nesiskuta.“ Kyla klausimas, ar kirpėjas turi teisę nusiskusti? Juk vos tik kirpyklos savininkas tuo pat metu taps ir jos klientu, jis ims prieštarauti savo paties skelbimui! Situacijos paradoksalumas įveikiamas tik įvykdžius savotišką žmogžudystę: mes turime tarti, kad tokio kirpėjo iš viso negali būti. Bet juk tai ne kas kita, kaip visiškai dirbtinė prielaida, kurios imamės todėl, kad mums taip patinka!

Matyt, lordo Raselo „Figaro“, skirtingai nuo savo Sevilijos kolegos iš nemirtingosios Bomarše trilogijos, ėmėsi aukštesnio lygio „intrigų“ – jis įsibrovė į logiką ir matematiką. Jei Grelingo, Epimenido ir panašūs paradoksai griovė tiesos semantiką, tai Raselo antinomija skaudžiai kerta per aibių matematiką.

Žinoma, Raselo antinomijos teorinė aibių interpretacija yra daug gilesnė ir sudėtingesnė, negu čia pateiktasis aiškinimas. Galima tik pasakyti, kad jei kirpėjo paradoksas (Raselo antinomijos populiari versija) rodo, jog tokio kirpėjo iš viso negali būti, tai Raselo antinomija daro negalimą buvimą tokių aibių, kurios būtų pačios savęs dalis.

Į šią antinomiją suvedama ir žinoma Georgo Kantoro teorema-paradoksas: kiekviena, netgi be galo didelė, klasė priklauso dar didesnei klasei. Bet jei kiekviena klasė priklauso dar didesnei klasei, tai kas gi bus su klase, į kurią įeina visos klasės?

Palyginimui įsivaizduokime, pavyzdžiui, bibliotekininką, sudarantį nacionalinei bibliotekai bibliografiją tų visų bibliotekoje esančių bibliografijų, kurios neišskaičiuoja pačios savęs.

Taigi, centrinė problema, paruošiant pagrindus bendrajai aibių teorijai, yra tokia – kaip surasti būdą įveikti Raselo antinomiją ir jos „svitą“. šios matematinės logikos dramos vyriausieji herojai, arba teisingiau – piktadariai, yra antinomijos. Kiti paradoksai – vis vien ar klaidingieji ar tikrieji – išblėsta, palyginus juos su šiais, nors jų sąžinę irgi slegia nemaža krizių matematikos istorijoje.