Visi, turbūt, prisimena kuriozinį epizodą iš Servanteso romano „Don Kichotas“. Vos Sanča Pansa tapo gubernatoriumi, jis tuojau buvo gudriai išbandytas. Vieno didiko žemes kerta į dvi dalis vandeninga upė. Per upę pastatytas tiltas, o jo gale grėsmingai iškyla kartuvės. Įstatyme pasakyta: „Kas pereina šiuo tiltu iš vieno kranto į kitą, tas pirmiausia turi prisiekti, kur ir kokiu reikalu eina; jeigu jis sakys tiesą, bus paleistas, o jei sumeluos, bus be jokios atodairos pakartas čia pat stovinčiose kartuvėse“.

 Ir atsitiko gi kartą, kad kažkoks žmogus, patvirtindamas savo žodžius priesaika, pareiškė, jog atėjęs mirti šiose kartuvėse. Ir vien tik to jis atvykęs. Kaip sumišo teisėjai! Iš tiesų, jei žmogui būtų leista laisvai keliauti toliau, jis būtų prisiekęs klaidingai ir jį reikėtų pakarti. Iš kitos gi pusės, kaip jį pakarti? Jis prisiekė atėjęs mirti kartuvėse, vadinasi, prisiekė teisingai ir todėl, tuo pačiu įstatymu remiantis, turi būti paleistas.

Vargšas Sanča negalėjo pasigirti Saliamono išmintimi. Tačiau jis nemurmėdamas ėmėsi sunkaus reikalo ir samprotavo šitaip: „Tai žmogaus pusei, kuri pasakė teisybę, reikia leisti laisvai keliauti, o tą, kuri sumelavo, pakarti.“ „Bet, senjore gubernatoriau, – pasipriešino oponentas, – jei perpjausime žmogų į dalis, tai jis neišvengiamai mirs, ir tada nei viena, nei antra įstatymo sąlyga nebus įvykdyta. O įstatymas turi būti ištisai įvykdytas“. Geraširdis senjoras gubernatorius, nebežinodamas, kaip pasielgti, įsakė paleisti keistąjį keleivį.

Taigi, įstatymas buvo pažeistas. Bet ką gi galėjo padaryti prasčiokėlis Sanča, kuris nemokėjo net pasirašyti savo sprendimo? Na, o mes, Servanteso skaitytojai, apginkluoti logikos ir matematikos mokslais, ar sugebėsime dabar, po 400 metų, įveikti šį galvosūkį?

Norėdami susigaudyti, turime pasidairyti po nuostabų paradoksų pasaulį.

Anapus sveikos nuovokos

Paradoksai žinomi nuo neatmenamų laikų, tačiau tik prieš pusamžį jais rimtai susidomėjo mokslininkai. Žymiam Kretos filosofui Epimenidui, gyvenusiam VI a. pr. Kr.  priskiriamas gana nepagarbus posakis apie savo tautiečius: „Visi kretiečiai – melagiai“. Bet štai nelaimė: juk pats Epimenidas – kretietis! Tuo atveju, jei Epimenidas sako tiesą, tai ir jis melagis, vadinasi, jis apkalba savo tėvynainius ir pats save, atseit, jis sako netiesą. Kaipgi vis dėlto yra: ar melagingas ar teisingas posakis, koneveikiąs salos – žmonijos kultūros lopšio – gyventojus?

Epimenido paradoksas, kitaip dar vadinamas „melagio paradoksu“, turi ir mažiau aforistinę, bet savikritiškesnę formą: „aš meluoju“, arba „žodžiai, kuriuos aš dabar tariu, yra melas“, į kabutes paimtas sakinys, matyt, negali būti be prieštaravimo nei teisingas, nei melagingas. šio paradokso varianto autorius yra Eubulidas (IV a. pr. Kr.).

Antikinės „krokodilo dilemos“ situacija tokia pat tragikomiška ir absurdiška, kaip Servanteso romano. Krokodilas pavagia vaiką. Baidyklė pažada tėvams grąžinti vaiką, jei tėvas atspės, ar krokodilas grąžins jam vaiką, ar ne. Kas lieka daryti vargšei baidyklei, jei tėvas staiga pasakys, kad krokodilas negrąžins jam vaiko?

Ginčydamiesi mes dažnai naudojame tokį argumentą: „nėra taisyklių be išimčių“, užmiršdami, kad šis posakis irgi yra taisyklė, ir todėl taip pat turi turėti išimtį. Paradoksas? Neabejotinai. Jis atsirado dėl to, kad sankcijas, nusakomas įstatymu, mes pritaikėme pačiam įstatymui. Taigi, būkite atsargūs su argumentais: juose slypi logikos klasta.

Semantiniai kuriozai

Įdomų terminologinį paradoksą 1908 m. suformulavo vokietis matematikas Kurtas Grelingas. Norėdami suprasti reikalo esmę, išnagrinėkime autologinį, arba save atitinkantį, būdvardį. Daugumas būdvardžių neturi tų ypatybių, kurias jie pažymi. Pavyzdžiui, žodis „raudonas“ nėra raudonos spalvos, žodis „kvapus“ – nekvepia. Bet būdvardis „lietuviškas“ yra tikrai lietuviškas, „daugiaskiemenis“ – daugiaskiemenis, „abstraktus“ – abstraktus ir t. t. Kiekvienas iš šių būdvardžių, pagal Grelingo terminologiją, yra AUTOLOGINIS – nusakantis savo tikrąją prasmę ir turintis tą pačią ypatybę, kuria apibūdina kitas sąvokas. Kas kita HETEROLOGINIAI, neatitinkantys savęs, būdvardžiai. Pavyzdžiui, „vienaskiemenis“ – visiškai ne vienaskiemenis žodis, „begalinis“ – turi apibrėžtą dydį, „konkretus“ – pagal prasmę abstraktus.

Grelingo paradoksas kyla dėl klausimo: kokiai rūšiai priskirti patį būdvardį „heterologinis“? Ar jis atitinka save ar neatitinka? Sakykim, kad būdvardis „heterologinis“ ir yra heterologinis. Tada jis pagal Grelingo apibūdinimą turi atitikti savo prasmę. O jei jis atitinka savo prasmę, tai jis... autologinis. Kuriuo pagrindu mes jį laikome heterologiniu?

Mokslas, tyrinėjąs žodžių prasminę pusę, vadinamas SEMANTIKA.

štai dar tipiškas semantinis siurprizas. Imkim tvirtinimą: „Mažiausias natūralus skaičius, kurio negalima nusakyti trumpiau kaip trisdešimt trimis skiemenimis.“ O ką tik parašytasis sakinys iš 31 skiemens (patikrinkite patys!) nusako ne ką kitą, kaip skaičių, kurį pagal aną tvirtinimą negalima nusakyti trumpiau, negu 33 skiemenimis!

Logikos istorija pilna panašių nesąmonių. Skaitytojas gali pabandyti savo jėgas, ieškodamas išeities iš šių labirintų. (Per pusamžį, kai ši problema iškilo, nesurasta nė vieno atsakymo, su kuriuo būtų sutikę mokslininkai.)

Tiesa, skaitytojui gali kilti klausimas: kam ši kazuistika reikalinga? Ir ar iš viso ji reikalinga?

Įdomūs triukai ar pavojingi simptomai?

Pateiktos prasminės nesąmonės – tai ne paprasti juokingi logikos triukai. Ne kartą paradoksai siejosi su galvosenos pagrindų kitimu.

...Koks vikrus ir greitas buvo galingasis Achilas, Trojos epopėjos didvyris, apdainuotas Homero! Ir koks nevikrus ir lėtas yra vėžlys, tapęs lėtumo ir nemitrumo simboliu. Ar jis galėtų lenktyniauti su legendiniu didvyriu – bėgiku? O štai antikinis išminčius Zenonas tvirtino, kad Achilas jokiu būdu nepavytų vėžlio. Filosofo įsitikinimas buvo paremtas šitokia logika: kai besivejantysis pasieks vietą, kur starto metu stovėjo vejamasis, šis „bėgikas“ bus pajudėjęs tegul ir nedaug, bet pirmyn. Vadinasi, Achilas turės vytis vėžlį naują, kad ir nedidelį, tarpą. Bet kol besivejantysis nubėgs iki to antro taško, „bėgikas“ vėl bus pajudėjęs pirmyn. Ir taip iki begalybės. O jei tai tęsis be galo ir krašto, tai kaip Achilas aplenks vėžlį?

Savo ruožtu kiekvienas mokinys iš praktikos žino, kad, ir nebūdamas Achilu, sugebėtų nesunkiai aplenkti ne tik vėžlį, bet ko gero ir patį mokytoją – tegu tik pasigirsta skambutis, pranešąs pamokos pabaigą.

Kur gi slypi Zenono samprotavimų „Achilo kulnas“?

šiandien mums nieko nereiškia su erudito pasitenkinimu, paremtu 25 amžių patyrimu, susikaupusio nuo Zenono laikų, surasti antikos mąstytojo klaidą. Prieš pustrečio tūkstančio metų vyravo naivus įsitikinimas, esą begalinė intervalų eilė turi neribotai didėti. šiandieninės konverguojančių eilučių teorijos, pagal kurias begalinis palaipsniui mažėjančių atkarpų skaičius susumuojamas kaip baigtinis dydis, pažengė toli pirmyn nuo antikinės civilizacijos mąstymo schemos, galutinai išaiškindamas Zenono mįslę kaip klaidingą paradoksą.

O ką daryti su tikrais paradoksais? Ar jie tik nebus mūsų mąstymo schemos teisingumo išbandymas?

Paradoksai nuginkluoja metodus

Pagal neįveikiamumo laipsnį paradoksus galima suskirstyti į tris klases. Prie pirmos klasės priskiriami vadinamieji klaidingieji paradoksai. Iš pirmo žvilgsnio juose slypi netikėtumas, bet tai tik klaidingas aliarmas. Pavyzdžiu gali būti Zenono paradoksas, kuris, kaip ką tik minėjome, lengvai sugriaunamas, remiantis nūdieninėmis eilučių teorijų priemonėmis.

Daug sudėtingesni reikalai su antrosios klasės paradoksais. Čia jau susiduriame su tikrais, ne tariamais, paradoksais. Pavyzdžiui, imkim Epimenido paradoksą. Jį ne taip lengva įveikti įprastiniais logikos metodais, nors ir tomis priemonėmis galima jo paradoksiškumą neutralizuoti. Tai daroma šitaip. Išskirsim dviejų tipų melagius. Pirmojo tipo melagiai kartais sako tiesą. Antrojo tipo visada meluoja. Epimenido posakį suprasime ta prasme, kad visi kretiečiai yra antrojo tipo melagiai. Sakykim, kad posakis teisingas. Tada atsižvelgiant į faktą, kad Epimenidas – kretietis, posakis būtinai turi būti neteisingas. Gaunasi prieštaravimas. O mes žinome, – jei, įrodinėdami matematinę teoremą, gausime aiškią nesąmonę, tai pradinė prielaida laikoma klaidinga (prpoteriukai dar iš mokyklos suolo žinomą įrodinėjimo metodą, vadinamą „reductio ad absurdum“– „suvedimu į absurdą“). štai todėl, remdamiesi tūkstantmete praktika patikrintu metodu, galima drąsiai tvirtinti, kad posakis „visi kretiečiai – melagiai“ neteisingas. šio teiginio neteisingumas rodo, kad gyveno ar gyvens koks nors kretietis, kuris kartkartėmis sako tiesą. Jei tai būtų vienintelis posakis, kurį bet kada yra pasakęs nors vienas kretietis, mes turėtumėm tikrą paradoksą. Bet čia ir yra visas reikalas, kad paradokso galima išvengti, tarus, jog yra gyvenęs kretietis, kuris kada nors vis dėlto nenusidėjo tiesai.

Taigi, antros klasės paradoksus galima, tegul ir iš bėdos, įveikti, pritempiant, apribojant ir papildant sąvokas. Už tai prieš stipresnįjį „melagio paradokso“ variantą – Eubulido paradoksą, – tradicinis „reductio ad absurdum“ metodas basąlygiškai kapituliuoja. Prieš mus – nesuprastinama, nepanaikinama paradokso esmė: Eubulido tvirtinimas teisingas tik tada, kai jis melagingas. Tai vienas trečiosios klasės paradoksų – vadinamoji ANTINOMIJA. Antinomijos pakiša mums tokių siurprizų, kurių neįmanoma kitaip pašalinti, kaip atsisakius nuo dalies mūsų mąstymo paveldėjimo. Arba patikimas mąstymo šablonas turi būti peržiūrėtas ir patobulintas, arba nuo jo teks visiškai atsisakyti.

Kaip tik tokią nemalonią išvadą kartą padarė vokietis matematikas Gotlibas Fregė, kuris laikomas matematinės logikos pradininku.

Naujojo Figaro pokštai

Fregė galvojo, kad savo „Pagrindiniuose aritmetikos dėsniuose“ jis įtvirtino savyje neprieštaringų logikos dėsnių matematinius principus. Kai veikalo antrasis tomas buvo rengiamas spaudai, jis gavo kuklų anglų mokslininko Bertrano Raselo laišką, kuriame šis pateikė savo antinomiją. „Aritmetika žūva,“ – su neviltim rašė savo atsakyme Fregė. „Pagrindinių artimetikos dėsnių“ antrojo tomo priedus Fregė pradėjo šiais žodžiais: „Mokslininkui negali būti didesnio nemalonumo, negu sužinoti apie visišką krachą tuo momentu, kai jo darbas jau užbaigtas.“ Kieno gi akiplėšiškiausi pasikėsinimai sudrebino šulus, ant kurių laikosi darnus matematikos pastatas? Pasirodo, katastrofos priežastim buvo iš pirmo žvilgsnio nekaltas kaimo barzdaskučio paradoksas.

Kaimo kirpykloje iškabintas keistas skelbimas: „Čia skutami tik tie ir vien tik tie, kurie patys nesiskuta.“ Kyla klausimas, ar kirpėjas turi teisę nusiskusti? Juk vos tik kirpyklos savininkas tuo pat metu taps ir jos klientu, jis ims prieštarauti savo paties skelbimui! Situacijos paradoksalumas įveikiamas tik įvykdžius savotišką žmogžudystę: mes turime tarti, kad tokio kirpėjo iš viso negali būti. Bet juk tai ne kas kita, kaip visiškai dirbtinė prielaida, kurios imamės todėl, kad mums taip patinka!

Matyt, lordo Raselo „Figaro“, skirtingai nuo savo Sevilijos kolegos iš nemirtingosios Bomarše trilogijos, ėmėsi aukštesnio lygio „intrigų“ – jis įsibrovė į logiką ir matematiką. Jei Grelingo, Epimenido ir panašūs paradoksai griovė tiesos semantiką, tai Raselo antinomija skaudžiai kerta per aibių matematiką.

Žinoma, Raselo antinomijos teorinė aibių interpretacija yra daug gilesnė ir sudėtingesnė, negu čia pateiktasis aiškinimas. Galima tik pasakyti, kad jei kirpėjo paradoksas (Raselo antinomijos populiari versija) rodo, jog tokio kirpėjo iš viso negali būti, tai Raselo antinomija daro negalimą buvimą tokių aibių, kurios būtų pačios savęs dalis.

Į šią antinomiją suvedama ir žinoma Georgo Kantoro teorema-paradoksas: kiekviena, netgi be galo didelė, klasė priklauso dar didesnei klasei. Bet jei kiekviena klasė priklauso dar didesnei klasei, tai kas gi bus su klase, į kurią įeina visos klasės?

Palyginimui įsivaizduokime, pavyzdžiui, bibliotekininką, sudarantį nacionalinei bibliotekai bibliografiją tų visų bibliotekoje esančių bibliografijų, kurios neišskaičiuoja pačios savęs.

Taigi, centrinė problema, paruošiant pagrindus bendrajai aibių teorijai, yra tokia – kaip surasti būdą įveikti Raselo antinomiją ir jos „svitą“. šios matematinės logikos dramos vyriausieji herojai, arba teisingiau – piktadariai, yra antinomijos. Kiti paradoksai – vis vien ar klaidingieji ar tikrieji – išblėsta, palyginus juos su šiais, nors jų sąžinę irgi slegia nemaža krizių matematikos istorijoje.

Paradoksai sukuria naują mokslą

Su paradoksų problema tampria siejasi ir matematinės logikos susikūrimas. šis mokslas sukūrė specialų matematinį aparatą, su kuriuo galima bet kurį logikos uždavinį išreikšti formulėmis ir lygtimis. O tai labai svarbu. Iš semantikos kuriozų mes jau turėjome progos įsitikinti, kokios staigmenos slypi kasdieninio leksikono žodžiuose, panaudojant juos apibrėžimams ir logiškų samprotavimų išvadoms. Nereikalingų prasminių niuansų ir terminologinių nesusipratimų išvengti padeda ekonomiška ir griežta matematinių simbolių kalba. Tai įgalino gremėzdiškiausias ir painiausias logines konstrukcijas suvesti į paprastas aritmetines operacijas. O be šito, kaip žinome, neįmanoma programuoti modernių skaičiavimo mašinų, sugebančių išspręsti sudėtingiausius logikos uždavinius.

Logikos paradoksai paliko neišdildomus pėdsakus mokslo istorijoje. Jie privertė peržiūrėti mūsų mąstysenos kanonus ir patobulinti matematinių priemonių arsenalą. Tiesa, kol kas tokie paradoksai, kaip Raselo antinomija, su sfinkso ramybe žvelgia į tuščius matematikų gudravimus. Bet mokslas nestovi vietoje. Labai gali būti, kad ateinančių kartų žmonės su šypsena prisimins mūsų logikos sunkumus. ši šypsena, greičiausiai, bus panaši į tą, su kuria mes šiandien vikriai sudorojome Zenono paradoksą.

Bobrovas L. Logikos katastrofos// Mokslas ir gyvenimas.– 1963.– Nr. 4.– P. 28-30.