Paradoksai nuginkluoja metodus
Pagal neįveikiamumo laipsnį paradoksus galima suskirstyti į tris klases. Prie pirmos klasės priskiriami vadinamieji klaidingieji paradoksai. Iš pirmo žvilgsnio juose slypi netikėtumas, bet tai tik klaidingas aliarmas. Pavyzdžiu gali būti Zenono paradoksas, kuris, kaip ką tik minėjome, lengvai sugriaunamas, remiantis nūdieninėmis eilučių teorijų priemonėmis.
Daug sudėtingesni reikalai su antrosios klasės paradoksais. Čia jau susiduriame su tikrais, ne tariamais, paradoksais. Pavyzdžiui, imkim Epimenido paradoksą. Jį ne taip lengva įveikti įprastiniais logikos metodais, nors ir tomis priemonėmis galima jo paradoksiškumą neutralizuoti. Tai daroma šitaip. Išskirsim dviejų tipų melagius. Pirmojo tipo melagiai kartais sako tiesą. Antrojo tipo visada meluoja. Epimenido posakį suprasime ta prasme, kad visi kretiečiai yra antrojo tipo melagiai. Sakykim, kad posakis teisingas. Tada atsižvelgiant į faktą, kad Epimenidas – kretietis, posakis būtinai turi būti neteisingas. Gaunasi prieštaravimas. O mes žinome, – jei, įrodinėdami matematinę teoremą, gausime aiškią nesąmonę, tai pradinė prielaida laikoma klaidinga (prpoteriukai dar iš mokyklos suolo žinomą įrodinėjimo metodą, vadinamą „reductio ad absurdum“– „suvedimu į absurdą“). štai todėl, remdamiesi tūkstantmete praktika patikrintu metodu, galima drąsiai tvirtinti, kad posakis „visi kretiečiai – melagiai“ neteisingas. šio teiginio neteisingumas rodo, kad gyveno ar gyvens koks nors kretietis, kuris kartkartėmis sako tiesą. Jei tai būtų vienintelis posakis, kurį bet kada yra pasakęs nors vienas kretietis, mes turėtumėm tikrą paradoksą. Bet čia ir yra visas reikalas, kad paradokso galima išvengti, tarus, jog yra gyvenęs kretietis, kuris kada nors vis dėlto nenusidėjo tiesai.
Taigi, antros klasės paradoksus galima, tegul ir iš bėdos, įveikti, pritempiant, apribojant ir papildant sąvokas. Už tai prieš stipresnįjį „melagio paradokso“ variantą – Eubulido paradoksą, – tradicinis „reductio ad absurdum“ metodas basąlygiškai kapituliuoja. Prieš mus – nesuprastinama, nepanaikinama paradokso esmė: Eubulido tvirtinimas teisingas tik tada, kai jis melagingas. Tai vienas trečiosios klasės paradoksų – vadinamoji ANTINOMIJA. Antinomijos pakiša mums tokių siurprizų, kurių neįmanoma kitaip pašalinti, kaip atsisakius nuo dalies mūsų mąstymo paveldėjimo. Arba patikimas mąstymo šablonas turi būti peržiūrėtas ir patobulintas, arba nuo jo teks visiškai atsisakyti.
Kaip tik tokią nemalonią išvadą kartą padarė vokietis matematikas Gotlibas Fregė, kuris laikomas matematinės logikos pradininku.
